Page 37 - kl 8 cz 1

Więcej na temat

Podział odcinka na dwie części tak, by stosunek długości dłuższej z nich a + b
do krótszej był taki sam, jak stosunek całego odcinka do części dłuższej, a b
nazywany jest złotą proporcją lub boską proporcją i oznaczany grecką
1 + 5 a + b a
literą { (czyt. fi). Obliczono, że: { = . { = a = b
2
Starożytni Grecy uważali złotą proporcję za proporcję idealną i chętnie wykorzystywali ją w architekturze. Wielu
późniejszych artystów tworzyło swoje dzieła, również wykorzystując tę proporcję, np. przy konstrukcji złotego pro-
stokąta, w którym stosunek dłuższego boku do krótszego jest równy liczbie {.

6. Wyszukaj w internecie informacji na temat związku złotej liczby z pięciokątem foremnym i gwiazdą
pitagorejską.

Przykład 6

Na odcinku AB zaznaczono punkty M i N. Odcinek AM jest o 7 cm krótszy od odcinka MN i o 35 cm krótszy
od odcinka NB. Stosunek długości odcinka AN do długości odcinka MB jest równy 1 : 2. Obliczmy długość
odcinka AB oraz wyznaczmy stosunek długości odcinków, na które podzielono odcinek AB.

Oznaczmy przez x długość odcinka AM i sporządźmy A M N B
rysunek pomocniczy.
x x + 7 x + 35
|MN| = x + 7 – długość odcinka MN
|NB| = x + 35 – długość odcinka NB

|AN| = x + x + 7 = 2x + 7 – długość odcinka AN
|MB| = x + 7 + x + 35 = 2x + 42 – długość odcinka MB

2x + 7 = Układamy proporcję.
1
2x + 42 2
2(2x + 7) = 2x + 42 Mnożymy na krzyż.
4x + 14 = 2x + 42
2x = 28

|AM| = x = 14 – długość odcinka AM w cm

|MN| = x + 7 = 14 + 7 = 21 – długość odcinka MN w cm
|NB| = x + 35 = 14 + 35 = 49 – długość odcinka NB w cm

|AB| = 14 + 21 + 49 = 84 – długość odcinka AB w cm

|AM| : |MN| : |NB| = 14 : 21 : 49 = 2 : 3 : 7 Aby uprościć zapis, każdą z liczb 14, 21 i 49 możemy podzielić
przez 7.
Odcinek AB jest równy 84 cm. Został on podzielony w stosunku 2 : 3 : 7.

35