Page 135 - kl 7 cz 2

8.8 Dowodzenie w geometrii (cz. 2)

Podejmij temat

Narysowane figury mają równe pola. Jak to
uzasadnić?

W poprzednich klasach poznaliśmy wzory na pola niektórych wielokątów. Udowodnijmy niektóre z tych wzorów.

Przykład 1

Korzystając ze wzoru na pole prostokąta, udowodnijmy wzór na pole trójkąta.

Pole prostokąta, którego boki mają długości a i b, jest równe P = a · b.
Zauważmy, że przekątna dzieli prostokąt na dwa przystające trójkąty
prostokątne. Pole jednego z takich trójkątów jest więc równe połowie b
pola prostokąta.

1
P = · P a
2
1
P = a · b
2
Uzasadniliśmy zatem, że pole trójkąta prostokątnego jest równe połowie iloczynu długości jego
przyprostokątnych.
Narysujmy teraz dowolny trójkąt, a następnie podzielmy go na dwa C
trójkąty prostokątne. Przyjmijmy takie oznaczenia, jak na rysunku.

Jeden trójkąt ma przyprostokątne c i h, a drugi d i h oraz a = c + d.
1
1
P ADC = c · h, P DBC = d · h h b
2
2
P ABC = P ADC + P DBC
1
1
P ABC = c · h + d · h A c D d B
2
2
Wyłączając wspólny czynnik przed nawias, mamy:
a
1
P = · h · (c + d)
2
a = c + d, więc:
1
P = h · a
2
1
P = a · h
2
133