Page 136 - kl 7 cz 2

Przykład 2

Korzystając ze wzoru na pole trójkąta, uzasadnijmy wzór na pole trapezu.

Zakładamy, że znamy wzór na pole trójkąta, a zatem możemy z niego skorzystać.
Mamy pokazać, że pole trapezu jest równe połowie iloczynu wysokości i sumy długości podstaw:
(a + b) · h
P = 2
Narysujmy trapez ABCD. Na boku BC obierzmy punkt K taki, D b C
że |BK| = |KC|. Poprowadźmy proste AB i DK. Punkt przecięcia się tych
prostych oznaczmy przez L. K
h
Kąty LBK i KCD są równe, ponieważ są naprzemianległe. Kąty BKL
i CKD są równe, ponieważ są kątami wierzchołkowymi. Zatem trójkąty a
BLK i KCD są przystające na mocy cechy kąt, bok, kąt i |BL| = b. A B b L
Trójkąty BLK i KCD mają równe pola, więc pole trapezu ABCD jest równe polu trójkąta ALD.

Trójkąt ALD ma taką samą wysokość jak trapez, a bok, na który jest ona opuszczona, jest równy sumie
podstaw trapezu.
1
1
Pole trójkąta ALD jest równe P ALD = (a + b) · h, więc pole trapezu też jest równe P ABCD = (a + b) · h,
2
2
co mieliśmy udowodnić.
1. Korzystając ze wzoru na pole prostokąta i własności trójkątów przystających, uzasadnij wzór na pole
równoległoboku.

2. Korzystając ze wzoru na pole trójkąta, uzasadnij wzór na pole rombu.

Przykład 3

W trójkącie ABC na boku AB obrano takie punkty K i L, że |AK| = |KL| = |LB|. Uzasadnimy, że trójkąty AKC,
KLC i LBC mają równe pola.

Narysujmy trójkąt ABC i na boku AB zaznaczmy takie punkty K i L, C
że |AK| = |KL| = |LB|.

Poprowadźmy wysokość CD trójkąta ABC z wierzchołka C do boku AB.
Zauważmy, że wysokość CD jest jednocześnie wysokością każdego
z trójkątów AKC, KLC, LBC, więc:

1
1
1
P AKC = |AK| · |CD|, P KLC = |KL| · |CD|, P LBC = |LB| · |CD| A K L D B
2
2
2
Ponieważ |AK| = |KL| = |LB|, więc P AKC = P KLC = P LBC , co mieliśmy udowodnić.
3. Uzasadnij, że przekątne równoległoboku dzielą go na cztery trójkąty o równych polach.

134