Page 149 - kl 8 cz 2

Analogicznie, 12 osób może stać w kolejce do lodziarni na 12! sposobów, zaś liczba wszystkich możliwych ustawień
20 książek na półce jest równa 20!.
Jeśli mamy n różnych obiektów (np. zawodników, osób, książek) i wszystkie obiekty mamy ustawić w szeregu, to takie
jedno ustawienie nazywamy permutacją. Liczba wszystkich permutacji jest równa n!.

Zadanie 2
Nauczyciel wybrał 6 zadań i chce utworzyć sprawdziany, które będą różniły się tylko kolejnością tych zadań. Oblicz, ile
różnych sprawdzianów może utworzyć nauczyciel.

W XVII wieku brytyjski pisarz Fabian Stedman zaproponował wykorzystanie permutacji do ustalania kolejności bicia
nastrojowych dzwonów. Oparte na jego pomysłach techniki wykorzystywane są do dzisiaj w wielu kościołach parafialnych
w Wielkiej Brytanii i Irlandii.

Wariacje bez powtórzeń

Wyobraźmy sobie, że z woreczka z czterema klockami, na których zapisane są cyfry 1, 2, 3, 4, losujemy kolejno dwa klocki
i w ten sposób tworzymy liczby dwucyfrowe.
Wynik może być np. taki:

1 3

Mówimy, że utworzyliśmy wariację dwuelementową (bo losowaliśmy dwa klocki) bez powtórzeń (bo każdy klocek mógł być
wylosowany tylko raz) ze zbioru czteroelementowego (bo mieliśmy cztery klocki).
Ile różnych liczb dwucyfrowych możemy w ten sposób utworzyć?
Najpierw możemy wylosować jeden z czterech klocków (cyfra dziesiątek), a potem jeden z trzech klocków (cyfra jedności).
1 2 2 1 3 1 4 1

1 3 2 3 3 2 4 2
1 4 2 4 3 4 3 4

Stosując regułę mnożenia, mamy: 4 · 3 = 12. Zatem możemy utworzyć 12 różnych liczb dwucyfrowych.
Teraz już łatwo jest obliczyć, na ile sposobów możemy rozdać trzy różne książki trzem różnym osobom wybranym spośród 10 osób:
• pierwszą książkę możemy wręczyć jednej z 10 osób,
• drugą książkę możemy wręczyć już tylko jednej z 9 osób,
• trzecią książkę możemy wręczyć jednej z 8 osób.
Stosując regułę mnożenia, mamy: 10 · 9 · 8 = 720 sposobów.
Zadanie 3
W ostatnim rzędzie w kinie jest 13 ponumerowanych miejsc. Na ile sposobów mogą w tym rzędzie zająć miejsca cztery osoby?

Wariacje z powtórzeniami
Rzut monetą może zakończyć się jednym z dwóch wyników: orzeł (O) lub reszka (R). Jeśli rzucimy monetą pięć razy to możemy
otrzymać np. RRORO. Mówimy, że utworzyliśmy wariację pięcioelementową (bo pięć razy rzucaliśmy monetą) z powtórzeniami
ze zbioru dwuelementowego (bo jeden rzut może zakończyć się jednym z dwóch wyników).
Liczba wszystkich możliwych wyników jest równa: 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32.
Zauważmy, że 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 2 5
Dlatego, aby obliczyć liczbę wyników pięciu rzutów monetą, należy obliczyć piątą potęgę liczby 2.
Analogicznie, możemy obliczyć liczbę możliwych wyników 8 rzutów sześcienną kostką do gry, na ścianach której znajdują
się oczka od 1 do 6. Liczba ta jest równa: 6 · 6 · 6 · 6 · 6 · 6 · 6 · 6 = 6 .
8
Zadanie 4
Kod PIN składa się z czterech cyfr, wybranych spośród cyfr od 0 do 9, przy czym cyfry w kodzie mogą się powtarzać.
Ile jest różnych kodów PIN?

147