Page 148 - kl 8 cz 2

KOMBINATORYKA

W trakcie rozwiązywania różnych problemów z życia codziennego czasami
zachodzi konieczność znalezienia odpowiedzi na rozmaite pytania, np.: Na ile
różnych sposobów może jechać jeden za drugim siedmiu rowerzystów? Na ile
sposobów możemy rozdać trzy różne książki trzem różnym osobom wybranym
spośród 10 osób? Ile jest różnych możliwych wyników pięciokrotnego rzutu
monetą? Na ile sposobów możemy wybrać czteroosobową delegację spośród 12
osób? Wyjaśnieniem tego typu zagadnień zajmuje się dział matematyki zwany
kombinatoryką.

Silnia

Jednym z ważniejszych pojęć kombinatoryki jest pojęcie silni. Zauważmy, że:
n – silnia jest to iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do n. 2! = 1 · 2 = 2
n – silnię oznaczmy przez n!. 3! = 1 · 2 · 3 = 6
n! = 1 · 2 · 3 · … · n 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24
Ponadto przyjmujemy, że: 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120
0! = 1 1! = 1 …
Notację n! wprowadził w 1808 roku Francuz Christian Kramp, n! = 1 · 2 · 3 · … · n
który choć z wykształcenia był lekarzem, pasjonował się
matematyką.

Zadanie 1
Oblicz: 6!, 7!, 8!.
Dzięki silni możemy w prosty sposób zapisywać iloczyny kolejnych liczb naturalnych, z których najmniejsza to 1. Na przykład
iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do 100 jest liczbą 157-cyfrową, zaś używając silni, możemy zapisać krótko: 100!.

Permutacje

Wyobraźmy sobie, że w wyścigu rowerowym bierze udział 7 uczestników, którym przydzielono numery od 1 do 7, przy czym
każdy z nich ma inny numer. Ile jest różnych możliwości zakończenia tego wyścigu? Przyjmijmy, że zapisujemy kolejno nu-
mery zawodników, którzy przekroczyli metę. Pierwszą osobą na mecie może być jeden z 7 zawodników, drugą – jeden z 6,
trzecią – jeden z 5 itd. Stosując regułę mnożenia, mamy: 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040
Zauważmy, że 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 = 7!
Zatem liczba możliwości zakończenia wyścigu, w którym bierze udział 7 zawodników, jest równa 7!.

meta
3
2
6 4
1
5
7

146