Page 15 - kl 7 cz1

Rozkład liczby złożonej na czynniki pierwsze wykorzystujemy do wyznacza-
nia największego wspólnego dzielnika (NWD) oraz najmniejszej wspólnej
wielokrotności (NWW) dwóch liczb.

Największym wspólnym dzielnikiem liczb a i b nazywamy największą
liczbę naturalną, która jest dzielnikiem liczby a i liczby b. Największy wspólny
dzielnik liczb a i b oznaczamy NWD(a, b).
Na przykład:
D = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72}
72
D = {1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90}
90
Wspólne dzielniki to: 1, 2, 3, 6, 9, 18, ale największym z nich jest liczba 18.
Możemy zatem zapisać: NWD(72, 90) = 18

Przykład 1

Wyznaczmy największy wspólny dzielnik liczb.
a) 45 i 117 b ) 40 i 99

a) Rozkładamy na czynniki pierwsze liczby 45 i 117.
45 3 117 3

15 3 39 3
5 5 13 13
1 1

Znajdujemy dzielniki, które powtarzają się w rozkładach obu liczb
(zaznaczone jednakowymi kolorami).
W tym przykładzie są to liczby 3.
Aby obliczyć największy wspólny dzielnik danych liczb, należy
pomnożyć zaznaczone jednakowe dzielniki tych liczb.

Otrzymujemy zatem: NWD(45, 117) = 3 · 3 = 9.

b) Wyznaczmy wszystkie dzielniki liczb 40 i 99.
D = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40} Dwie liczby naturalne są względnie
40
D = {1, 3, 9, 11, 33, 99} pierwsze, jeżeli ich największy wspólny
99
dzielnik jest równy 1.
NWD(40, 99) = 1 Np.: liczby 40 i 99 są względnie pierwsze,
bo NWD(40, 99) = 1.

2. Wyznacz NWD podanych par liczb.
a) 70 i 84 b ) 65 i 121

13