Page 177 - kl 7 cz 2

Egipcjanie wiedzieli, że trójkąt, którego boki mają
długości 3, 4 i 5, jest prostokątny. Używali go do wy-
znaczania kątów prostych przy odnawianiu granic 4x
pól gruntowych, zmywanych wylewami Nilu. Wiązali 3x
na sznurze w równych odstępach węzły i budowali
z tego sznura trójkąt składający się z 3, 4 i 5 odstę-
pów, zauważając, że największy kąt jest kątem pro-
stym. Taki trójkąt nazywamy trójkątem egipskim. 5x

Trójką pitagorejską nazywamy trzy liczby naturalne a, b, c, które spełniają warunek: a2 + b2 = c2.
Jak wyznaczyć trójki pitagorejskie?

Pitagoras, poszukując innych trójkątów prosto- Znane są też inne, później wynalezione metody na
kątnych, których długości boków byłyby liczbami wyznaczanie trójek pitagorejskich. Oto jedna z nich.
naturalnymi, podał wzory, dzięki którym możemy Jeśli m i n są liczbami naturalnymi i m > n, to
wyznaczyć niektóre z trójek pitagorejskich. Wzory a = m2 – n2, b = 2mn, c = m2 + n2
te możemy zapisać następująco:
jest trójką pitagorejską.
a = 2n + 1, b = 2n(n + 1), c = 2n2 + 2n + 1
Kilka trójek pitagorejskich wyznaczonych tą meto-
gdzie n jest liczbą naturalną. Kilka trójek pitagorejskich dą podanych jest w tabeli.
wyznaczonych tą metodą podanych jest w tabeli.

n a b c m n a b c
1 3 4 5 2 1 3 4 5

2 5 12 13 3 1 8 6 10
3 7 24 25 3 2 5 12 13
4 9 40 41 4 1 15 8 17
5 11 60 61 4 2 12 16 20

Warto zauważyć, że jeżeli trójka liczb a, b, c jest pitagorejska i każdą z liczb a, b, c pomnożymy przez liczbę
naturalną dodatnią k, to trójka liczb ka, kb, kc też będzie pitagorejska.

Zadanie 3
Wyznacz kilka innych trójek pitagorejskich.
Znając długości boków trójkąta, równie łatwo
można ustalić, czy jest to trójkąt ostrokątny,
Zadanie 4
prostokątny czy rozwartokątny.
Sprawdź, czy trójkąt o podanych długościach boków jest
ostrokątny, prostokątny czy rozwartokątny. Możesz użyć
Oznaczymy długości boków trójkąta
kalkulatora.
przez a, b i c w taki sposób, że a ≤ b ≤ c.
a) 60 cm, 91 cm, 109 cm
Jeżeli a2 + b2 > c2, to trójkąt jest ostrokątny.
b) 28 cm, 45 cm, 50 cm
Jeżeli a2 + b2 = c2, to trójkąt jest prostokątny.
c) 24 cm, 32 cm, 41 cm
Jeżeli a2 + b2 < c2, to trójkąt jest rozwartokątny.
175