Page 36 - kl 7 cz 2

1. Oblicz długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego, którego jeden z kątów ma 45°, a przyprostokątna
jest równa:
a) 6 cm, b) 3 2 cm.

Przykład 2

W trójkącie prostokątnym ABC kąt CAB ma 60°, a przyprostokątna AB jest równa a. Obliczmy długość
przeciwprostokątnej AC i przyprostokątnej CB tego trójkąta.

Trójkąt ABC jest prostokątny i kąt CAB ma miarę 60°, zatem kąt ACB C
ma miarę 30°.

30°

60°
A a B

Narysujmy trójkąt CBD przystający do trójkąta ABC.
Każdy z kątów trójkąta ADC ma miarę 60°, czyli trójkąt ADC jest C
równoboczny. Bok AC ma długość 2a.
Obliczmy długość przyprostokątnej CB trójkąta ABC. Oznaczmy odcinek 30° 30°
CB literą b. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, mamy: 2a
b
b + a = (2a) 2
2
2
b + a = 4a 2 60° 60°
2
2
b = 3a 2 A a B D
2
b = a 3
Zauważmy, że przyprostokątna CB trójkąta prostokątnego ABC jest jednocześnie wysokością trójkąta
równobocznego ADC.

W trójkącie o kątach 90°, 60°, 30°, którego krótsza przyprostokątna ma długość a, 30°
przeciwprostokątna ma długość 2a, a dłuższa przyprostokątna ma długość a 3. 2a
a 3
Wysokość trójkąta równobocznego o boku długości 2a ma długość a 3.
60°
a

2. Oblicz wysokość trójkąta równobocznego, którego bok ma długość:
a) 8 cm, b) 5 3 cm.

3. W trójkącie prostokątnym ABC kąt CAB ma 60°, a przyprostokątna BC jest równa b. Oblicz długość
przeciwprostokątnej AC i przyprostokątnej AB tego trójkąta.

34