Page 40 - kl 7 cz 2
P. 40
Przykład 4
Udowodnijmy, że suma miar kątów wewnętrznych pięciokąta wypukłego jest równa 540°.
Narysujmy pięciokąt ABCDE. Suma miar kątów wewnętrznych E
pięciokąta jest równa sumie miar kątów: ABC, BCD, CDE, DEA i EAB.
A D
B C
Narysujmy przekątne AC i AD. E
Miara kąta EAB jest równa sumie miar kątów EAD, DAC i CAB.
Miara kąta BCD jest równa sumie miar kątów BCA i ACD.
Miara kąta CDE jest równa sumie miar kątów CDA i ADE. A D
Stąd suma miar kątów pięciokąta jest równa sumie miar kątów: ABC,
BCA, ACD, CDA, ADE, DEA, EAD, DAC i CAB. B C
Przekątne AC i AD podzieliły pięciokąt na trzy trójkąty: ABC, ACD i ADE.
Kąty ABC, BCA i CAB są kątami trójkąta ABC, czyli suma ich miar jest równa 180°.
Kąty ACD, CDA i DAC są kątami trójkąta ACD, czyli suma ich miar jest równa 180°.
Kąty ADE, DEA, EAD są kątami trójkąta ADE, czyli suma ich miar jest równa 180°.
Czyli suma miar kątów pięciokąta jest równa: 180° + 180° + 180° = 540°
Udowodniliśmy, że suma miar kątów wewnętrznych pięciokąta wypukłego jest równa 540°.
4. Udowodnij, że suma miar kątów wewnętrznych czworokąta wypukłego jest równa 360°.
Zadania
1 Punkt S jest punktem przecięcia się wysokości AL i BK trójkąta równoramiennego ostrokątnego ABC,
w którym |AC| = |BC|. Udowodnij, że |SK| = |SL|.
2 W trapezie ABCD na ramieniu BC obrano punkt E taki, że |BE| = |EC|. Prosta DE przecina prostą AB
w punkcie F. Udowodnij, że trójkąty DCE i EBF mają równe obwody.
3 W trójkącie równoramiennym ABC środki boków oznaczono odpowiednio przez K, L, M. Udowodnij,
że trójkąt KLM jest też równoramienny.
38
