Page 39 - kl 7 cz 2

Przykład 2

Kąty trójkąta oznaczono odpowiednio: a, b i c. Udowodnijmy, że suma miar kątów a i b jest równa mierze
kąta przyległego do kąta c.

Sporządźmy rysunek.
a + b + c = 180° Suma miar katów wewnętrznych
c d
a + b = 180° – c trójkąta jest równa 180°.
a
c + d = 180° Kąty c i d są kątami przyległymi.
b d = 180° – c
Stąd a + b = d.

Udowodniliśmy, że suma miar kątów a i b jest równa mierze kąta przyległego do kąta c.

2. Udowodnij, że suma miar kątów leżących przy tym samym ramieniu trapezu jest równa 180°.

Przykład 3

W równoległoboku ABCD bok AB jest dwa razy dłuższy od boku AD. Punkt E jest środkiem boku AB.
Udowodnimy, że trójkąt DEC jest prostokątny.

Sporządźmy rysunek. Oznaczmy kąt DAB przez a, kąt ABC przez b D C
i kąt DEC przez c.

|AD| = |AE| bo |AB| = 2 ⋅ |AD| i |AB| = 2 ⋅ |AE|
a c b
Trójkąt AED jest równoramienny. Z własności trójkąta A E B
równoramiennego wiemy, że kąty AED i ADE mają jednakowe miary
równe: 180° – a = 90° – a
2
2
|EB| = |BC| bo |AB| = 2 ⋅ |EB| i |AB| = 2 ⋅ |BC|

Trójkąt EBC jest równoramienny. Kąty BCE i BEC mają jednakowe miary równe: 180° – b = 90° – b
2
2
Suma miar trzech kątów AED, DEC i CEB jest równa 180°.
a
b
Zatem: 90° – + c + 90° – = 180°
2 2
c = a + b
2
W równoległoboku suma miar kątów leżących przy jednym boku jest równa 180°, czyli a + b = 180°.
Zatem kąt DEC ma miarę 90°. Udowodniliśmy, że trójkąt DEC jest prostokątny.

3. Kąt ABC trapezu równoramiennego ABCD ma miarę 60°. Przekątna AC dzieli kąt DAB na dwa kąty
o jednakowych miarach. Udowodnij, że trójkąt ABC jest prostokątny.

37