Page 104 - kl 8 cz 1

W graniastosłupie przekątne mogą Przekątna graniastosłupa
mieć różną długość. to odcinek łączący wierzchołki
Graniastosłup czworokątny ma cztery obu podstaw, które nie należą do tej
przekątne. samej ściany graniastosłupa.
Graniastosłup trójkątny nie ma
przekątnych.

Przykład 4

Stosunek długości krawędzi prostopadłościanu, wychodzących z jednego wierzchołka, jest równy
3 : 4 : 12. Przekątna prostopadłościanu ma długość 26, a jego wysokość jest równa najdłuższej krawędzi.
Obliczmy wysokość tego prostopadłościanu.

Sporządźmy rysunek pomocniczy. Stosunek długości krawędzi
prostopadłościanu a : b : c jest równy 3 : 4 : 12. Długości krawędzi
możemy więc zapisać jako: 3x, 4x, 12x, gdzie x jest pewną liczbą dodatnią.
Aby obliczyć wysokość prostopadłościanu, skorzystamy z trójkąta
prostokątnego utworzonego przez przekątną podstawy, przekątną 12x 26
prostopadłościanu i wysokość prostopadłościanu.

y 4x
3x
Z twierdzenia Pitagorasa wyznaczamy długość y Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa,
przekątnej podstawy prostopadłościanu. wyznaczamy x.
y = (3x) + (4x) 2 (12x) + y = 26 2
2
2
2
2
y = 9x + 16x 2 (12x) + (5x) = 26 2
2
2
2
2
y = 25x 2 4x y 144x + 25x = 676
2
2
2
y = 5x 169x = 676 | : 169 26
2
x = 4 12x
2
3x x = 2
Obliczamy wysokość prostopadłościanu.
12 · 2 = 24 y
Wysokość prostopadłościanu jest równa 24.
4. Przekątna sześcianu ma długość 8 3. Oblicz długość przekątnej ściany
bocznej tego sześcianu.
Przekątna d
sześcianu, w którym 3 a 5. Podstawą graniastosłupa jest prostokąt, którego stosunek długości
każda krawędź d = a boków jest równy 8 : 15. Przekątna podstawy ma długość 34 cm.
jest równa a, Stosunek wysokości tego graniastosłupa do krótszej krawędzi podstawy
ma długość a 3. a a jest równy 2 : 1. Oblicz wysokość graniastosłupa.

102