Page 145 - kl 8 cz 1

„Składać” bryły można nie tylko z czworościanów, ale
również z dowolnych ostrosłupów. Jedną z najbardziej
znanych brył „złożonych” z ostrosłupów jest ośmiościan
foremny. Zbudowany jest z dwóch takich samych os-
trosłupów prawidłowych czworokątnych. Ośmiościan
foremny ma: osiem ścian w kształcie przystających trój-
kątów równobocznych, cztery pary ścian równoległych,
12 krawędzi, 6 wierzchołków.

Przykład 2

Obliczmy pole powierzchni całkowitej i objętość ośmiościanu foremnego o krawędzi długości a.

Pole powierzchni ośmiościanu foremnego o krawędzi a jest sumą pól E
ośmiu przystających trójkątów równobocznych.

P = 8 · 4 3 a 2 H a
c
P = 2 3a 2 D C
c
Objętość ośmiościanu foremnego o krawędzi a jest sumą objętości dwóch A S a
jednakowych ostrosłupów prawidłowych czworokątnych. Zapisujemy: a B
1
V = 2 · · a · H
2
3
Wyznaczmy wysokość H dla ostrosłupa ABCDE.
Wiemy, że odcinek SC to połowa długości przekątnej kwadratu ABCD, czyli a 2 . F
2
Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ESC.
H + |SC| = a 2 E
2
2
a 2 2
H + ( ) = a 2
2
2
2
H = a – a 2 H a
2
2
4
2
H = a 2
2
4
H = 2 a 2 S a 2 C
4
H = a 2 2
2
Wysokość H dla ostrosłupa ABCDE jest równa wysokości ostrosłupa ABCDF.
Wyznaczmy objętość ośmiościanu foremnego FABCDE.
1
V = 2 · · a · H
2
3
1
V = 2 · · a · a 2
2
3 2
V = 3 2 a 3
Pole powierzchni ośmiościanu foremnego o krawędzi a jest równe 2 3a , natomiast objętość takiego
2
ośmiościanu to 2 a .
3
3
143