Page 142 - kl 8 cz 1

Przykład 4

Obliczmy objętość czworościanu foremnego o krawędzi a.

Przyjmijmy takie oznaczenia jak na rysunku.
Spodek wysokości ostrosłupa D
znajduje się w punkcie E przecięcia A
wysokości trójkąta będącego
podstawą ostrosłupa. Wysokości
trójkąta równobocznego przecinają A H a
się w stosunku 2 : 1. Obliczamy F E
długość odcinka CE. F E
2
|CE| = · |CF|
3
|CF| = a 2 3 B a C B C
2
|CE| = · a 3 = a 3
3 2 3
Wysokość H ostrosłupa obliczamy, korzystając z trójkąta prostokątnego CDE. D
W czworościanie foremnym wszystkie krawędzie są równe.
|CE| + |DE| = |CD| 2
2
2
3 2
(a ) + H = a 2 H a
2
3
3a 2 + H = a 2
2
9
2
H = 3a – a 2 E 3 C
2
3 a
2
H = a 2 3
2
3
H = a 2 3 = a 2 · 3 3 = a 3 6 Mnożymy licznik i mianownik ułamka przez 3, aby w mianowniku nie
3
było pierwiastka.
Wyznaczamy pole podstawy ostrosłupa – jest to pole trójkąta równobocznego o boku długości a.
P = 4 3 · a 2
p

Obliczamy objętość czworościanu.
1
V = · H · P
3 p
1
V = · a 6 · 3 · a = 18 · a = 3 2 · a 3
2
3
3 3 4 36 36
V = 2 a 3
12
Objętość czworościanu foremnego o krawędzi a jest równa 2 a .
3
12

4. Oblicz objętość czworościanu foremnego o krawędzi długości 6 dm.

140